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Chissà se cade

Stamattina mi sono imbattuto in un esercizio molto interessante (tovato sul Morin).

Questa è la situazione fisica: ho una curva e so che i punti di inizio e fine (li chiamo a e b) sono alla stessa altezza. Su questa curva giace una catena ideale soggetta alla sola forza di gravità. Dimostrare che la catena non cadrà, sapendo che la catena ha densità costante.

Ecco come l’ho risolto.

Sia f(x) la funzione che descrive la curva, analizzo la situazione fisica per tratti di curva infinitesimi.Preso un certo angolo  \alpha(che ovviamente varia punto-punto), la forza dF che fa scivolare la catena sarà  dF=-g \ sin \alpha \ dm , dove dm è la massa infinitesima del pezzettino considerato.

Chiamo p la densità della catena, dunque p volte la lunghezza equivale alla massa.

La lunghezza del pezzo di curva considerato è per il teorema di Pitagora  \sqrt{1+(f^\prime)^2} (bisogna immaginare il tutto come un triangolo rettangolo con cateti 1, derivata di x, e  f^\prime ). \sin{\alpha} si può scrivere per la definizione trigonometrica del seno  \sin{\alpha}= \frac{f^\prime}{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}.

Mettendo insieme quanto detto:

\int_{a}^{b} -g \frac{f^\prime}{\sqrt{1+(f^\prime)^2}} (p \sqrt{1+(f^\prime)^2}dx =

= -pg \int_{a}^{b} f^\prime dx = -pg(f(a) -f(b))

Considerato che a=b, si deduce che F=0.

Complessivamente dunque la forza che fa scivolare la catena è nulla: non cadrà!

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