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Parabola: formule e descrizione

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice.

Gli elementi di un parabola sono, quindi, il fuoco e la direttrice a cui si aggiungono il vertice e l’asse di simmetria, oltre ai punti appartenenti alla parabola e che, quindi, la verificano.

Il vertice è il punto di minore distanza dal fuoco e dalla direttrice ed è dato dall’intersezione dell’asse di simmetria con la parabola stessa.

L’asse di simmetria è la retta perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco che divide la parabola in due parti simmetriche.

ParabolaUna parabola può essere parallela all’asse Y (caso più frequente, la classica parabola “verticale”) o parallela all’asse X.

Si può sviluppare sia dal basso verso l’alto che dall’alto verso il basso. Nel primo caso avremo nell’equazione a>0 , nel secondo a<0.

Per trovare l’equazione di una parabola avremo bisogno di 3 condizioni: il vertice e il fuoco ne danno 2 mentre direttrice, asse e punto passante per la parabola 1. Alcune condizioni coincidono, in particolare l’asse, poiché passa per fuoco e vertice, ha la stessa equazione della x o della y di questi ultimi.

 

RICORDO che \Delta = b^2-4ac

 

L’equazione generica di una parabola, parallela all’asse Y, è    y=ax^2+bx+c .

La direttrice ha equazione     y=-\frac{1+ \Delta}{4a}

L’asse di simmetria      x = -\frac{b}{2a}

Il vertice    (-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})

Il fuoco     (-\frac{b}{2a} ; \frac{1 - \Delta}{4a})

 

Per quanto riguarda le parabole parallelle all’asse X, la formula è la seguente: x=ay^2+by+c. Come potete vedere le y e le x si sono invertite, la stessa cosa è accaduta con gli altri elementi.

Direttrice    x=-\frac{1+ \Delta}{4a}

Asse            y = -\frac{b}{2a}

Vertice        (-\frac{\Delta}{4a};-\frac{b}{2a})

Fuoco         (\frac{1 - \Delta}{4a};-\frac{b}{2a})

 

Un punto passante per la parabola ci da, come già detto, una condizione ottenibile dalla sostituzione della x e della y del punto nell’equazione generica.

Mettendo a sistema 3 condizioni otteniamo le lettere a , b e  c che si vanno ad inserire nell’equazione generica per ottenere l’equazione della nostra parabola.

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